3秒でわかる「テイラー展開」

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テイラー展開とは

テイラーの定理から導かれる近似式展開です！
難しい式を一次式、二次式などのシンプルな形に近似できます。

式

$x=a$ 付近で近似するとして、
$\displaystyle f(x)=f(a)+f^{(1)}(a)(x-a)+\frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+\cdots$
$\displaystyle =\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$

$f(x)=x+1$ をテイラー展開

まずはテイラー展開で一致しそうな式から見てみます。
x=0でテイラー展開します。

$\displaystyle f^{(1)}(0)=1$
$\displaystyle f(x)=(0+1)+(x-0)=x+1$

式が一致しました！

x=3でテイラー展開してみます。

$\displaystyle f^{(1)}(3)=1$
$\displaystyle f(x)=(3+1)+(x-3)=x+1$

これも一致します！

$f(x)=sin(x)$ をテイラー展開

まずはx=0で1次近似します。
$\displaystyle f^{(1)}(0)=cos(0)$
$\displaystyle f(x)\simeq sin(0)+cos(0)(x-0)=x$

$sin(x)$ と $x$ だとあまりにも違うので、次はx=0で2次近似をします。
$\displaystyle f^{(1)}(0)=cos(0)$
$\displaystyle f^{(2)}(0)=-sin(0)$
$\displaystyle f(x)\simeq sin(0)+cos(0)(x-0)+\frac{-sin(0)}{2!}(x-0)^2=x$

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$f^{(2)}(0)=-sin(0)$ なので、1次近似と同じ値になりました。次は3次近似をします。
$\displaystyle f^{(1)}(0)=cos(0)$
$\displaystyle f^{(2)}(0)=-sin(0)$
$\displaystyle f^{(3)}(0)=-cos(0)$
$\displaystyle f(x)\simeq sin(0)+cos(0)(x-0)+\frac{-sin(0)}{2!}(x-0)^2+\frac{-cos(0)}{3!}(x-0)^3=x-\frac{1}{6}x^3$

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少し近づきました！
計算していくとわかりますが、下記の式のようになります。
$\displaystyle sinx=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$

マクローリン展開

$x=0$ 付近でテイラー展開するときを特にマクローリン展開と言います。
$\displaystyle f(x)=f(0)+f^{(1)}(0)x+\frac{f^{(2)}(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\cdots$
$\displaystyle =\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$

トーフメモ

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3秒でわかる「テイラー展開」

テイラー展開とは

式

$f(x)=x+1$ をテイラー展開

$f(x)=sin(x)$ をテイラー展開

マクローリン展開